第5课 算法的时间复杂度

1. 定性判断算法的效率

（1）时间复杂度：算法运行后对时间需求量的定性描述（数据结构课程集中讨论的内容）

（2）空间复杂度：算法运行后对空间需求量的定性描述（判断方法类似于时间复杂度）

2. 大O表示法

（1）算法效率严重依赖于操作（Operation）数量

（2）操作数量的估算可以作为时间复杂度的估算

（3）在判断时首先关注操作数量的最高次项

　　O(5) =O(1)

　　O(2n+1)=O(2n)=O(n)

　　O(n²+n+1) = O(n²)

　　O(3n³+1)=O(3n³)=O(n³)

3. 常见时间复杂度

（1）线性阶时间复杂度：O(n)

for(int i=0;i<n; i++){
    //这里是一些复杂度为O(1)的程序语句
}

（2）对数阶时间复杂度：O(logn)

int i = 1;
//循环次数为2^x = n，即x = log2n。
//忽略底数后，时间复杂度为logn
while (i<n){
    i *= 2; //复杂度为O(1)的程序语句
}

（3）平方阶时间复杂度：O(n²)

//循环总次数：n2
for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=0; j<n; j++){
        //复杂度为O(1)的程序语句
    }
}

【计算练习1】

//循环总次数：n + (n-1) + (n-2) +...+ 1 = (n+1)*n/2 ==>O(n2)
for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=i; j<n; j++){ //注意j从i（而不是1）开始。
        //复杂度为O(1)的程序语句
    }
}

【计算练习2】求func函数的时间复杂度

void t(int n)   ==>O(n)
{
    int i=0;
    while(i < n){
        cout << i << endl;
    }
}

void func(int n) //n*(n+1) ==>O(n2)
{
    int i= 0;
    while(i < n){
        t(n);  //O(n)
        i++;   //O(1)
    }
}

【计算练习3】求test函数的时间复杂度

void t(int n)   ==>O(n)
{
    int i=0;
    while(i < n){
        cout << i << endl;
    }
}

//时间复杂度为：O(n) + O(n2) + O(n3) ==>O(n3)
void test(int n)
{
    t(n); //O(n)
    
    //O(n2)
    for(int i=0; i<n; i++)
        t(i);
    
    //O(n3)
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=i; j<n; j++)
            t(i);  //O(n)
}

4. 小结

（1）时间复杂度是算法运行时对于时间的需求量

（2）大O表示法用于描述算法的时间复杂度

（3）大O表示法只关注操作数量的最高次项

（4）常见的时间复杂度为：线性阶、平方阶和对数阶